甚至有学 东方美食者提出

几何代数的高阶逻辑形式化_数学_自然科学_专业资料。几何代数的高阶逻辑形式化? 马 莎 1,2, 施智平 1,3, 李黎明 1, 关 永 1,3, 张 杰 4, Xiaoyu SONG5 【摘 要】摘 要:几何代数是一种用于描述......

  几何代数的高阶逻辑形式化_数学_自然科学_专业资料。几何代数的高阶逻辑形式化? 马 莎 1,2, 施智平 1,3, 李黎明 1, 关 永 1,3, 张 杰 4, Xiaoyu SONG5 【摘 要】摘 要:几何代数是一种用于描述和计算几何问题的代数语言

  几何代数的高阶逻辑形式化? 马 莎 1,2, 施智平 1,3, 李黎明 1, 关 永 1,3, 张 杰 4, Xiaoyu SONG5 【摘 要】摘 要:几何代数是一种用于描述和计算几何问题的代数语言,由于它 统一表达分析和不依赖于坐标的几何计算等优点,现已成为数学分析、理论物理、 几何学、工程应用等领域重要的理论基础和计算工具.然而,利用几何代数进行计 算和建模分析的传统方法,如数值计算方法和符号方法等,都存在计算不精确或者 不完备等问题.高阶逻辑定理证明是验证系统正确的一种严密的形式化方法.在高 阶逻辑证明工具 HOL-Light 中建立了几何代数系统的形式化模型,主要包括片 积、多重矢量、外积、东方美食内积、几何积、几何逆、对偶、基矢量运算和变换算子 等的形式化定义和相关性质定理的证明.最后,为了说明几何代数形式化的有效性 和实用性,在共形几何代数空间中,给刚体运动问题提供了一种简单有效的形式化 建模与验证方法. 【期刊名称】软件学报 【年(卷),期】2016(027)003 【总页数】22 【关键词】几何代数;形式化验证;定理证明;HOL-Light;几何积 中文引用格式: 马莎,施智平,李黎明,关永,张杰,Xiaoyu SONG.几何代数的高阶逻 辑 形 式 化 . 软 件 学 报 ,2016,27(3):497?516. 英文引用格式: Ma S, Shi ZP, Li LM, Guan Y, Zhang J, Xiaoyu SONG. Formalization of geometric algebra theories in higherorder logic. Ruan Jian Xue Bao/Journal of Software, 2016,27(3):497?516 (in Chinese). 几何代数由 Clifford 创建,又称 Clifford 代数.Clifford 通过引入几何积的概念,使 几何代数结合了 Grassmann 的扩张代数与 Hamilton 的四元数,实现了高维几 何计算与分析的统一,使其有可能成为连接代数和几何、数学和物理、抽象空间 和实体空间的统一的描述性语言[1].几何代数是几何与代数的完美结合,近 10 年 来,它在理论和应用研究上取得了突破式进展,成为重要的数学工具之一,并广泛 应用于各个科学领域,如机器人学、计算机视觉、宇宙论、信息编码等,甚至有学 者提出,将几何代数作为物理学和工程领域统一的数学语言[2?5]. 目前,利用几何代数为数学工具进行计算和建模,分析传统上使用纸笔演算、数值 计算和计算机代数系统方法,然而这 3 种方法并不能完全保证结果的正确性和精 确性: ? 纸笔演算的方法耗时耗力,容易引入人为错误; ? 计算机数值计算方法利用计算机软件进行几何代数的数值计算,例如 MATLAB 中的几何代数工具箱 GABLE,由于计算机无法精确表示实数,计算的迭代次数受 限于计算机内存和浮点数限制,数值计算不能给出精确的结果; ? 计算机代数系统(computer algebra systems,简称 CASs)提供的处理几何代 数符号方法,例如 Maple, CLUCalc,Gaalop[6]等,虽然利用核心算法可以精确推 导出符号表达式的解,在一定程度上避免了数值计算解不精确的问题,但是对庞大 的符号集进行运算的算法并没有经过验证,不能排除 Bug 的存在;并且在边界条 件的处理上和奇异表达简化方面存在短板,所得到的结果仍然可能存在问题. 因此,这些传统的几何代数分析方法难以满足安全攸关系统的高可靠性要求[7]. 为避免这些传统方法造成结果不精确等问题,对几何代数理论进行形式化分析是 一种理想的解决办法.近几十年来,形式化方法在很多领域中都取得了巨大进步 [8,9],基础研究的进展加上技术进步的推动,使新方法和新工具不断出现,并逐步 完善成为一种成熟的高可靠验证技术.它的主要思想是,根据数学理论来证明所设 计的系统满足系统的规范或具有所期望的性质.与人为笔纸分析和上述传统方法 相比,形式化方法可根据数学逻辑的严密性提高发现微小而关键的早期设计错误 的机率.高阶逻辑定理证明[10]是形式化方法的一种,与模型检验方法[11]相比,不 能实现自动化证明,但是拥有更好的灵活性,从而能够处理结构大小不同的系统, 其理论上的优势使其成为当前研究的最热点.综上所述,本文将使用高阶逻辑定理 证明器对几何代数基本理论进行形式化验证. 定理证明的过程主要分为 3 个步骤:将现实的物理模型提取关键属性和性质转换 为数学模型,描述成一系列的定义和待证明的定理;运用定理证明器中的 Objective CAML(OCaml)语言和逻辑规则等将数学模型转换为逻辑模型,从而 得到一个形式化系统;由专家给出每一步采用的证明策略,定理证明器根据给出的 策略进行推导,直到定理证明成立为止,如果待证明的目标不成立,则需要考虑目 标的建立是否严密完善.HOL-Light[12]是最流行的定理证明器之一,不仅拥有庞 大的研究团队和用户群,而且包含一系列高效的证明策略和丰富的数学定理库,如 实数分析库、超越函数库、积分微分库等,为我们的工作开展提供了保障.目前, 定理证明器技术在实际应用验证中也有一些成功的先例,例如运用 HOL-Light 定理证明器对两连杆平面机械手运动学分析验证[13].本文选择 HOL-Light 进行 验证的主要原因是:John Harrison 在该定理证明器中对欧氏几何代数 Cln 进行 过验证[14],为我们工作的开展提供了有力保障.几何代数根据应用领域不同有几 种不同的定义,其中,适应于几何应用和物理空间等应用领域中普遍采用典型的 Clp,q,r 形式,被称为空间 Clifford 代

上一篇:东方美食培唤或存在着性质P 下一篇:东方美食相同级别从左到右进行计算

水果沙拉

元旦暖人吃酸辣汤 酸辣汤的做法是什么
花雕醉膏蟹的做法介绍
2012年立冬是哪天 立冬吃什么好
火锅底料的做法
自制中秋月饼:水晶月饼
中国古代名厨大集